Natural de Caxias do Sul, Rio Grande do Sul, Pedro Máximo Paim Falcão nasceu em 25 de fevereiro de 1943. Formou-se em Direito pela Universidade de Caxias do Sul (UCS), em 1967, ano em que obteve inscrição definitiva na Ordem dos Advogados do Brasil (OAB/RS). Começou a advogar em Toledo, no Paraná.
Ministrou aulas de Direito Administrativo na UCS, em 1967 e 1968. Após casar, retornou a Porto Alegre, onde atuou como assessor-jurídico do Departamento Nacional de Telecomunicações (DENTEL). Em 1973, aprovado no segundo concurso do Ministério Público Federal (MPF), assumiu o cargo de procurador da República, desempenhando-o durante dez anos. Foi procurador regional eleitoral do Rio Grande do Sul durante a realização das primeiras eleições diretas após o Regime Militar.
Paim Falcão assumiu suas atividades como magistrado no dia 05 de setembro de 1984, depois de ter sido aprovado para o cargo de juiz federal em concurso público de provas e títulos, promovido pelo Tribunal Federal de Recursos (TFR). Permaneceu lotado junto à 9ª Vara Federal de Porto Alegre, situada no sétimo andar do Edifício Protetora, no Centro Histórico da Capital gaúcha, até ser promovido.
Mediante decreto do Presidente da República, publicado no Diário Oficial da União de 27 de março de 1989, foi promovido para o cargo de juiz federal do recém-criado Tribunal Regional Federal da 4ª Região. A solenidade de posse ocorreu em 30 de março do mesmo ano, data de inauguração do Tribunal. Foi relator do primeiro processo distribuído no TRF4, o Habeas Corpus nº 89.04.00152-8.
Em sessão ordinária do Plenário Administrativo realizada em 31 de maio de 1995 foi eleito presidente do TRF4, para mandato de dois anos. Foi empossado no cargo no dia 21 de junho de 1995, durante sessão solene realizada sob a presidência do desembargador Gilson Langaro Dipp, que concluía seu mandato.
Paim Falcão encerrou carreira em 18 de fevereiro de 1998, data em que foi publicado o decreto presidencial que concedeu sua aposentadoria. A respectiva vaga foi provida pelo juiz federal Edgard Antônio Lippmann Júnior, em maio do mesmo ano.
